Теория

№5. Орташа шамалар

 

1.Орташа шаманың жалпы сипаттамасы

Орташа шаманың статистикалық тәжірибедегі және ғылымдағы маңызын көптеген ғалымдар өз еңбектерінде зерттеген.

Ағылшын ғалымы В.Петти (1623-1677) экономикалық мәселелерді зерттегенде орташа шамаларды кеңінен қолданған. Ол орташа шамалардың тұрақтылығын зерттелетін құбылыс заңдылығының көрінісі деп санаған.

Грегори Кинг (1648–1712) Англия халқы туралы мәліметтерге талдау жасағанда орташа және қатысты шамаларды қолданып, бір отбасының және жан басына шаққандағы орташа табысын зерттеген.

Бельгия статистигі А.Кетле (1796–1874) – статистикалық көрсеткіштер тұрақтылығы теориясына қомақты үлес қосқан ғалым. А.Кетле тұрақты себептердің зерттелетін құбылыстарға тигізетін әсері тұрақты болады және олар (тұрақты себептер, факторлар) құбылыстарға тән ортақ заңдылықты тудырады деп санаған.

Оның жеке және жалпы себептерді зерттеуінің нәтижесінде орташа шамалар статистикалық талдаудың негізгі әдісіне айналды.

Орташа шама деп біртекті құбылыстардың жиынтығын бір вариациялық белгі бойынша сипаттайтын қорытынды көрсеткішті айтады.

Орташа шаманы есептегенде кездейсоқ факторлар әсерінен болған белгі мәндерінің ауытқулары бірін-бірі жояды, ал негізгі факторлар әсерінен болған өзгерістер есепке алынады.

Орташа шамаларды қолданғанда мына шарттар орындалуы тиіс:

1. Орташа шама тек біртекті жиынтық үшін есептелуі керек.

2. Жиынтық бірліктері толық қамтылуы тиіс. Ал орташа шама жартылай бақылау мәліметтері бойынша есептелген жағдайда, типтік үрдісті айқындау үшін іріктеліп алынатын бірліктер саны үлкен сан болуы қажет.

3. Орташаның түрі дұрыс анықталуы керек.

Орташа шаманы есептеу үшін, ең алдымен, әрбір нақты жағдайда осы орташа шама нені білдіретінін, қандай шамалардың қатынасы арқылы есептелінетінін, яғни орташаның негізгі қатынасын анықтап алу керек. Мысалы, орташа жалақыны есептеу үшін жалпы жалақыны жұмыс істейтіндер санына бөледі: 

Орташа шамалар мынадай екі үлкен топқа бөлінеді:

· дәрежелік орташа шамалар

· құрылымдық орташа шамалар

 Құрылымдық орташа шамаларға мода мен медиана жатады. Оларды вариациялық қатарларды сипаттау үшін қолданады.

Дәрежелік орташа шамалардың мынадай түрлері болады:

· арифметикалық орташа шама

· гармониялық (үйлесімді) орташа шама

· квадраттық орташа шама

· геометриялық орташа шама

Осы аталған орташа шамаларды мынадай үлгімен көрсетуге болады: 

Берілген мәліметтердің ерекшеліктеріне байланысты дәрежелік орташалар жай және салмақталған болып екіге бөлінеді. Дәрежелік орташа шамалардың жай түрі мәліметтер топтастырылмай, белгінің әр варианты жеке берілгенде қолданылады. Оларды мынадай формуламен есептейді: 

Дәрежелік орташа шамалардың салмақталған түрі топтастырылған мәліметтер үшін қолданылады және олардың жалпы формуласы мынадай түрде болады:

 

Дәрежелік орташа шамаларды есептеу формулалары Кестеде көрсетілген.

 

2. Арифметикалық орташа шамалар

Орташа шамалардың ішінде ең көп тарағаны – арифметикалық орташа шама. Барлық дәрежелік орташалар сияқты арифметикалық орташа шамалардың да екі түрі болады:

l  жай арифметикалық орташа

l  салмақталған арифметикалық орташа

Жай арифметикалық орташа шама белгінің варианттары жинақталмаған жиынтықтар үшін қолданылады. Оны мынадай формуламен есептейді: 

Салмақталған арифметикалық орташа шамалар әр вариант бірнеше рет қайталанған жағдайда қолданылады және оны мына формуламен есептейді: 

 

3. Гармониялық орташа шамалар

Гармониялық орташа шама белгінің кері мәнінен есептеледі. Басқа дәрежелік орташалар сияқты гармониялық орташаның да жай және салмақталған түрі болады. Әдетте гармониялық орташаны орташаның негізгі қатынасының бөлімі белгісіз болғанда қолданады. Бір өнімге жұмсалған орташа еңбек шығынын, материал шығынын, т.б. осындай көрсеткіштерді есептеу гармониялық орташаны қолдану арқылы жүзеге асырылады.

Жай гармониялық орташа варианттардың жиіліктері бірдей немесе бірге тең болғанда қолданылады және төмендегі формуламен есептеледі: 

Гармониялық орташаның салмақталған түрін белгінің варианттары (х_i) және вариант пен жиіліктің көбейтіндісі (x_i * f_i) белгілі, ал жиілік (f_i) белгісіз болған жағдайда қолданады. Салмақталған гармониялық орташаны мына формуламен анықтайды:

4. Квадраттық орташа шамалар

Квадраттық орташалар квадраттық функция түрінде өрнектелген шамалардың орташасын анықтау үшін қолданылады. Мысалы, әр түрлі дөңгелектердің орташа диаметрлері, әр түрлі квадраттардың қабырғаларының орташа ұзындығы квадраттық орташаны қолдану арқылы анықталады.

Квадраттық орташалардың екі түрі болады:

· жай квадраттық орташа,

· салмақталған квадраттық орташа.

 

5. Геометриялық орташа шамалар

Динамикалық қатар түрінде берілген статистикалық көрсеткіштердің өсу коэффициенттерінің немесе өсу қарқындарының орташа шамасын анықтағанда, индекстер теориясында геометриялық орташа формуласын қолданады.

6. Құрылымдық орташа шамалар

Статистикада дәрежелік орташалармен қатар құрылымдық орташаларды да қолданады. Құрылымдық орташаларға мода және медиана жатады.

Мода деп жиынтықтағы ең жиі кездесетін вариантты айтады. Мысалы, отбасыларында ең жиі кездесетін бала саны, кәсіпорындағы ең жиі кездесетін жалақы мөлшері, студенттің ең жиі алатын бағасы мода болады.

Медиана деп вариациялық қатардың ортасында орналасқан вариантты айтады. Медиана қатарды 2-ге бөледі. Өсу ретімен орналасқан тақ мүшелі қатардың тура ортасында орналасқан вариант сол қатардың медианасы болады.

Мысалы, 5 жұмысшының әрқайсысының еңбек өтілі сәйкесінше 2, 5, 7, 8, 10 жыл болса, бұл қатардың медианасы 7 жылға тең болады.

Интервалды вариациялық қатарларда құрылымдық орташаларды есептеу үшін арнайы формулалар қолданылады. Мұндай қатарларда моданы мына формуламен есептейді:

 

 

Интервалды вариациялық қатардағы медиананы мына формуламен есептейді: