Теория

№6. Вариация көрсеткіштері

 

1.Вариация көрсеткіштері

Орташа шамалар біртекті құбылыстардың жиынтығын вариациялық белгі бойынша сипаттайтын қорытынды көрсеткіш болғанымен, зерттелетін құбылыстар мен үдерістерді толық талдау үшін орташа шама туралы мәлімет әдетте жеткіліксіз болады. Кейде құрылымы жағынан бір-біріне ұқсамайтын жиынтықтардың орташа шамалары бірдей болады. Сондықтан құбылысты жанжақты зерттеу үшін жиынтықтың жеке бірліктері мәндерінің вариациясын ескеру қажет.

Вариация деп белгілердің әр түрлі мәнді қабылдауын айтады. Вариация табиғаттағы, қоғамдағы барлық құбылыстарға тән және ол құбылыстар дамуының қажетті шарты болып саналады.

Вариация көрсеткіштері белгі варианттарының орташа шамадан ауытқуын көрсетеді. Вариация көрсеткіштері:

-       орташа шамаларды толықтырады;

-       жиынтықтың біртекті немесе әр текті екендігін анықтайды;

-       белгі вариациясының шегін анықтайды;

-       белгілер арасындағы өзара байланысты сипаттайды.

Вариация көрсеткіштерінің мынадай түрлері болады:

· вариация өрісі

· орташа сызықтық ауытқу

· дисперсия

· орташа квадраттық ауытқу

· вариация коэффициенті.

 Вариация өрісі – вариация көрсеткіштерінің ең қарапайым түрі. Бұл көрсеткіш қатардағы барлық варианттардың орташа шамадан ауытқуын сипаттамайды, ол тек белгінің ең үлкен және ең кіші мәндерінің айырмасын көрсетеді. Вариация өрісін төмендегі формуламен есептейді.

 

Ең жоғарғы және ең төменгі зейнетақы, жалақы , т.с.с. көрсеткіштердің айырмасын есептегенде вариация өрісін қолданады.

Орташа шамадан ауытқу деп белгі мәні мен орташа шаманың айырмасын айтады.  Арифметикалық орташа шамалардың қасиеті бойынша:

 

Сондықтан сызықтық ауытқулардың орташасын анықтау үшін ауытқулардың модулін есептейді. Сызықтық ауытқулардың екі түрі болады: · жай сызықтық ауытқу · салмақталған сызықтық ауытқу. Топтастырылмаған мәліметтер үшін орташа сызықтық ауытқудың жай түрі анықталады:

 

Топтастырылған мәліметтер үшін орташа сызықтық ауытқудың самақталған түрі анықталады.

Тәжірибе жүзінде сызықтық ауытқуды өндірістің ырғақтылығын, шикізат пен материалды жеткізудің бір қалыптылығын бағалау, т.б. үшін қолданады.

Дисперсия – ауытқулар квадратының орташасы. Дисперсияның да екі түрі болады: · жай дисперсия · салмақталған дисперсия. Жай дисперсияны топтастырылмаған мәліметтер үшін есептейді:

Ал мәліметтер топтастырылып берілген жағдайда, дисперсияның салмақталған түрін анықтайды:

Дисперсияның өлшемі зерттелетін белгі өлшемінің квадратына сәйкес келетіндіктен, дисперсияны орташа шамамен тікелей салыстыруға болмайды. Ол үшін дисперсиядан квадраттық түбір табады. Осылай орташа квадраттық ауытқуды анықтайды.

 

Топтастырылмаған мәліметтер үшін орташа квадраттық ауытқудың жай түрі анықталады:

 Салмақталған орташа квадраттық ауытқуды мына формуламен есептейді.

 

Орташа квадраттық ауытқу – атаулы шама, оның өлшем бірлігі орташа шаманың өлшем бірлігімен бірдей болады. Орташа квадраттық ауытқу неғұрлым аз болса, орташа шаманың сенімділігі соғұрлым жоғары болады, яғни орташа шама қорытынды көрсеткіш ретінде зерттеліп отырған жиынтықты жақсы сипаттайды.

Орташа квадраттық ауытқудың арифметикалық орташа шамаға қатынасын вариация коэффициенті дейді.

Бұл көрсеткіш зерттелетін жиынтықтың біртекті немесе әр текті екендігін сипаттайды.

 

2. Дисперсияның негізгі қасиеттері. Дисперсияны ықшамдалған тәсілмен есептеу

Дисперсияның есептеулерді жеңілдететін мынадай математикалық қасиеттері бар:

1. Егер белгінің барлық мәндерін тұрақты бір шамаға (А) кемітсе , одан дисперсия өзгермейді. 

 2. Егер белгінің барлық мәндерін тұрақты d шамасына бөлсе, онда дисперсия d²  есе азаяды.

 

3. Дисперсия белгі мәндері квадраттарының орташасы мен орташа шама квадратының айырмасына тең.

4. Белгі мәндерінің кез-келген тұрақты шамадан ( А) ауытқуларының квадраттарының орташасы орташа шамадан есептелген ауытқулар квадратының орташасынан (дисперсиядан) үлкен болады:

Дисперсияның математикалық қасиеттерін ескере отырып, оны ықшамдалған тәсілмен былай анықтауға болады:

Дисперсияны есептеудің ықшамдалған тәсілін моменттер тәсілі немесе шартты нөлден бастап есептеу тәсілі деп те атайды.

 

3. Дисперсияларды қосу ережесі

 Бірнеше топқа бөлінген статистикалық жиынтықтағы сандық көрсеткіштердің байланысын зерттеу үшін мынадай дисперсияларды есептейді:

· топтық (топішілік) дисперсия ( 2 s i )

 · топаралық дисперсия ( 2 d )

· жалпы дисперсия ( 2 s )

Топтық дисперсия топтастыру негізі болған белгіден басқа факторлардың, яғни есепке алынбаған факторлардың әсерінен болған белгі вариациясын сипаттайды. Оны есептеу үшін алдымен әр топтың дисперсиясын анықтайды:

Топаралық дисперсия топтастыру негізі болып саналатын фактордың әсерінен болған вариацияны сипаттайды.

Жалпы дисперсия барлық факторлардың әсерінен жиынтықтықта болған вариацияны көрсетеді.  

Жоғарыда аталған дисперсиялар арасында мынадай байланыс бар:

яғни жалпы дисперсия топтық дисперсиялардың орташасы мен топаралық дисперсияның қосындысына тең болады. Осы байланысты дисперсияларды қосу ережесі дейді.

Топаралық дисперсияны жалпы дисперсияға бөлу арқылы детерминация коэффициентін анықтайды.

Бұл көрсеткіш топтастыру негізі болып саналатын белгі әсерінен туындайтын вариацияның жалпы вариациядағы үлесін көрсетеді. Детерминация коэффициентінің квадраттық түбірі эмпириялық корреляциялық қатынас деп аталады.

 

Эмпириялық корреляциялық қатынас көрсеткіші факторлық және нәтижелік белгілер арасындағы тығыздықты бағалау үшін қолданылады.